Moc w obwodzie prądu zmiennego
O mocy wydzielanej w obwodzie prądu stałego mówiliśmy w module Praca i moc prądu elektrycznego, straty cieplne. W obwodzie prądu zmiennego moc dana jest takim samym wyrażeniem
ale wartość jej zmienia się bo zmienne jest napięcie i natężenie prądu. Dlatego też w przypadku prądu zmiennego do obliczenia mocy posłużymy się wartościami średnimi.
Zgodnie z naszymi obliczeniami moc w obwodzie \( RLC \) w dowolnej chwili \( t \) wynosi
Korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów, otrzymujemy
gdzie ponadto skorzystaliśmy z relacji \( {\sin}\mathit{\omega t} {\cos}\mathit{\omega t} = {\sin}2\mathit{\omega t}/2 \).
Moc średnia jest więc dana wyrażeniem
Ponieważ \( {\sin}^{{2}}\mathit{\omega t}+{\cos}^{{2}}\mathit{\omega t}=1 \), to \( {\overline{{{\sin}^{{2}}\mathit{\omega t}}}=\overline{{{\cos}^{{2}}\mathit{\omega t}}}=1/{2}} \) (wykresy sinus i cosinus są takie same, jedynie przesunięte o \( \pi /2 \)). Ponadto \( {\overline{{{\sin}2\mathit{\omega t}}}=0} \), bo funkcja sinus jest na przemian dodatnia i ujemna, więc
Jak widzimy, średnia moc zależy od przesunięcia fazowego pomiędzy napięciem i prądem.
Na podstawie wzoru Obwód szeregowy RLC-( 6 ) i korzystając ze związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta można pokazać, że \( {{\cos}\varphi =R/Z} \). Uwzględniając, ponadto że \( U_0 = ZI_{0} \) możemy przekształcić wyrażenie na moc średnią do postaci
Przypomnijmy, że dla prądu stałego \( {P=I^{{2}}R} \). Z porównania tych dwóch wyrażeń dochodzimy do wniosku, że moc średnia wydzielana przy przepływie prądu zmiennego o amplitudzie \( I_{0} \) jest taka sama, jak prądu stałego o natężeniu.
Definicja 1: Wartość skuteczna natężenia prądu zmiennego
Tę wielkość nazywamy wartością skuteczną natężenia prądu zmiennego. Analogicznie definiujemy skuteczną wartość napięcia.
Definicja 2: Wartość skuteczna napięcia prądu zmiennego
Zadanie 1: Obliczanie maksymalnej wartośći skutecznej napięcia
Treść zadania:
Mierniki prądu zmiennego takie jak amperomierze i woltomierze odczytują właśnie wartości skuteczne. Wartość napięcia \( 220 V \) w naszej sieci domowej to wartość skuteczna. Jaka jest wartość maksymalną tego napięcia?
\( U_0= \)
Obliczyliśmy moc średnią wydzielaną w całym obwodzie. Porównajmy ją teraz ze średnią mocą traconą na oporze \( R \)
Widzimy, że cała moc wydziela się na oporze \( R \), a to oznacza, że na kondensatorze i cewce nie ma strat mocy.
Ten wniosek pozostaje w zgodności z naszymi wcześniejszymi obliczeniami. Gdy w obwodzie znajduje się tylko pojemność lub indukcyjność (nie ma oporu omowego), to przesuniecie fazowe jest równe \( \pi /2 \), a ponieważ \( cos(\pi /2) = 0 \), to zgodnie z równaniem ( 5 ) średnia moc jest równa zeru. Jednocześnie zauważmy, że moc chwilowa zmienia się z czasem; raz jest dodatnia (energia jest gromadzona w polu elektrycznym kondensatora lub magnetycznym cewki), a raz ujemna (zgromadzona moc jest oddawana do układu).
Omawiane obwody, w których elementy \( R \), \( L \), \( C \) stanowiły odrębne części nazywamy obwodami o elementach skupionych. W praktyce jednak mamy do czynienia z elementami, które mają złożone własności. Przykładem może tu być cewka, która oprócz indukcyjności \( L \) ma zawsze opór \( R \) oraz pojemność międzyzwojową \( C \). Mamy wtedy do czynienia z obwodami o elementach rozłożonych.